Question

10．设函数$f（x）=\frac{a}{x^2}+lnx，a∈R$．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）如果对任意的$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有$f（x）≥\frac{1}{x}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，a≥x-x²lnx恒成立，记H（x）=x-x²lnx，根据函数的单调性求出H（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{2a}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2a}{{x}^{3}}$，（x＞0），
a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞$\sqrt{2a}$，即函数f（x）的递增区间是（$\sqrt{2a}$，+∞），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{2a}$，
即函数f（x）的递减区间是（0，$\sqrt{2a}$）；
（2）问题等价于当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，a≥x-x²lnx恒成立，
记H（x）=x-x²lnx，∴a≥H（x）_max，H′（x）=1-2xlnx-x，H′（1）=0，
令m（x）=1-2xlnx-x，∴m′（x）=-3-2lnx，
由于x∈[$\frac{1}{2}$，2]，m′（x）=-3-2lnx＜0，
∴m（x）=1-2xlnx-x在[$\frac{1}{2}$，2]递减，
x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，H′（x）＞0，x∈（1，2]时，H′（x）＜0，
即函数H（x）=x-x²lnx在区间[$\frac{1}{2}$，1]递增，在区间（1，2]递减，
∴H（x）_max=H（1）=1，从而a≥1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．