Question

17．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不与A，C重合）为AC边上的两个动点，且满足|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{3}{2}$，2]
• B． （$\frac{3}{2}$，2）
• C． [$\frac{3}{2}$，2）
• D． [$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 以等腰直角△ABC的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，写出直线AC的方程，设出M的坐标，由|$\overrightarrow{MN}$|表示出点N的坐标，求出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BN}$与它们的数量积$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范围即可．

解答 解：以等腰直角△ABC的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，
如图所示；则B（0，0），直线AC的方程为x+y=2；
设M（a，2-a），则0＜a＜1，
由|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{2}$，得N（a+1，1-a）；
∴$\overrightarrow{BM}$=（a，2-a），$\overrightarrow{BN}$=（a+1，1-a）；
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=a（a+1）+（2-a）（1-a）=2a²-2a+2=2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$．
∵0＜a＜1，∴当a=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$取得最小值$\frac{3}{2}$，
且a=0或1时，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=2，无最大值；
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范围是[$\frac{3}{2}$，2）．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算问题，采用坐标法可使问题计算简便，注意a的范围是解题的关键．