Question

20．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，$PB=2\sqrt{2}$，$PC=2\sqrt{3}$，E，F分别为BC，PD的中点．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点G，连接EG，FG，证明AD⊥平面EFG，即可证明EF⊥AD；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用向量方法求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取AD中点G，连接EG，FG，
∵E，G分别为BC，AD中点，底面ABCD为正方形，
∴AD⊥EG，…（1分）
∵$PC=2\sqrt{3}$，PA=2，$AC=2\sqrt{2}$，
∴PC²=AC²+PA²，
∴PA⊥AC．
∵$PB=2\sqrt{2}$，PA=AB=2，
∴PB²=PA²+AB²，
∴PA⊥AB，
又AC∩AB=A，AC，AB?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD．…（3分）
又AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD，
∵F，G分别为PD，AD中点，
∴FG∥PA，
∴AD⊥FG，
又EG∩FG=G，EG，FG?平面EFG，
∴AD⊥平面EFG，…（5分）
又EF?平面EFG，
∴EF⊥AD．…（6分）
（2）解：由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（2，1，0），F（0，1，1），
∴$\overrightarrow{EF}=（{-2，0，1}）$．…（8分）
设平面PBC的法向量$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，$\overrightarrow{PB}=（{2，0，-2}）$，$\overrightarrow{BC}=（{0，2，0}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2x-2z=0\\ 2y=0\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow n=（{1，0，1}）$．…（10分）
设直线EF与平面PBC所成角为θ，则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{EF}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{EF}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{EF}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{5}•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．