Question

15．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2016}$+a_n（n∈N^*）．
（1）求证：a_n+1＞a_n；
（2）求证：a₂₀₁₇＜1；
（3）若a_k＞1，求正整数k的最小值．

Answer 1

分析 （1）a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2016}$≥0，可得a_n+1≥a_n．a₁=$\frac{1}{2}$，可得a_n$≥\frac{1}{2}$．可得a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2016}$＞0，即可证明．
（II）由已知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2016}{{a}_{n}（{a}_{n}+2016）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-$$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$，$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，利用累加求和可得：$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}+2016}$，当k=2017时，由（I）可得：$\frac{1}{2}$=a₁＜a₂＜…＜a₂₀₁₆．可得$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}+2016}$＜$2016×\frac{1}{{a}_{1}+2016}$＜1，即可证明．
（III）由（II）可得：可得：$\frac{1}{2}$=a₁＜a₂＜…＜a₂₀₁₆＜a₂₀₁₇＜1．可得$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2018}}$=$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}+2016}$＞2017×$\frac{1}{1+2016}$＞1，即可得出．

解答 （1）证明：a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2016}$≥0，可得a_n+1≥a_n．
∵a₁=$\frac{1}{2}$，∴a_n$≥\frac{1}{2}$．
∴a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2016}$＞0，∴a_n+1＞a_n．
（II）证明：由已知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2016}{{a}_{n}（{a}_{n}+2016）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-$$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
由$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}$，…，$\frac{1}{{a}_{n-1}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
累加求和可得：$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}+2016}$，
当k=2017时，由（I）可得：$\frac{1}{2}$=a₁＜a₂＜…＜a₂₀₁₆．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}+2016}$＜$2016×\frac{1}{{a}_{1}+2016}$＜1，
∴a₂₀₁₇＜1．
（III）解：由（II）可得：可得：$\frac{1}{2}$=a₁＜a₂＜…＜a₂₀₁₆＜a₂₀₁₇＜1．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2018}}$=$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}+2016}$＞2017×$\frac{1}{1+2016}$＞1，
∴a₂₀₁₇＜1＜a₂₀₁₈，
又∵a_n+1＞a_n．∴k的最小值为2018．

点评 本题考查了“累加求和法”、数列递推关系、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．