Question

20．如图，在四棱锥S-ABCD中，点O是正方形ABCD的中心，SO⊥平面ABCD，且SO=OD，点P为棱SD上一点．
（Ⅰ） 当点P为棱SD的中点时，求证：SD⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在点P，使得直线BC与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 当当P是SD的中点时，AP⊥SD，CP⊥SD，又AP∩CP=P，即可证明：SD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAC的一个法向量，利用直线BC与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：由题意不妨设OS=OD=1，
则SD=$\sqrt{2}$，CD=AD=$\sqrt{2}$，SA=SC=$\sqrt{2}$，
∴△SAD，△SCD为等边三角形，
当P是SD的中点时，AP⊥SD，CP⊥SD，
又AP∩CP=P，
∴SD⊥平面PAC．…（5分）
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则可得，B（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），D（-1，0，0），A（0，-1，0）
假设存在符合题意的点P，可设$\overrightarrow{SP}$=λ$\overrightarrow{SD}$，P（-λ，0，1-λ）
∴$\overrightarrow{AP}$=（-λ，1，1-λ），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），
设平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-λx+y+（1-λ）z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$
不妨取$\overrightarrow{n}$=（1-λ，0，λ），
又$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）
由|$\frac{λ-1}{\sqrt{（1-λ）^{2}+{λ}^{2}}•\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$可得3λ²-8λ+4=0，
解得λ=$\frac{2}{3}$（λ=2舍去）．所以符合题意的点P是棱SD上靠近点D的三等分点．…（12分）

点评 本题考查立体几何中的线面关系及空间向量的应用，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．