Question

11．给定直线l：y=2x-16，抛物线G：y²=ax（a＞0）
（1）当抛物线G的焦点在直线l上时，求a的值；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线G上，且点A的纵坐标y_A=8，△ABC的重心恰是抛物线G的焦点F，求直线BC的方程．

Answer 1

分析 （1）由抛物线G：y²=ax（a＞0）的焦点在x轴上，且其坐标为$（\frac{a}{4}，0）$，对方程y=2x-16，令y=0得x=8，可得$\frac{a}{4}=8$，解得a．
（2）由（1）知：抛物线G的方程是y²=32x，F（8，0）．点A在抛物线G上，且y_A=8，可得A（2，8）．延长AF交BC于点D，则由点F是△ABC的重心得：点D为线段BC的中点．设点D（x，y），由$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FD}$，可得：D．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由点B，C在抛物线y²=32x上得：代入抛物线方程相减得：$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}×（{y_1}+{y_2}）=32$，进而得出．

解答 解：（1）∵抛物线G：y²=ax（a＞0）的焦点在x轴上，且其坐标为$（\frac{a}{4}，0）$，
∴对方程y=2x-16，令y=0得x=8，
从而由已知得$\frac{a}{4}=8$，a=32．
（2）由（1）知：抛物线G的方程是y²=32x，F（8，0）．
又∵点A在抛物线G上，且y_A=8，∴A（2，8）．
延长AF交BC于点D，则由点F是△ABC的重心得：点D为线段BC的中点．
设点D（x，y），则由$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FD}$得（8-2，0-8）=2（x-8，y-0），解之得：$\left\{\begin{array}{l}x=11\\ y=-4\end{array}\right.$．
∴D（11，-4）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则由点B，C在抛物线y²=32x上得：$\left\{\begin{array}{l}y_1^2=32{x_1}\\ y_2^2=32{x_2}\end{array}\right.$，
两式相减得：$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}×（{y_1}+{y_2}）=32$，
又由点D为线段BC的中点得y₁+y₂=-8，k_BC=-4．
∴直线BC方程为y-（-4）=-4（x-11），即4x+y-40=0．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、中点坐标公式、直线方程、三角形重心性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．