Question

3．设曲线l极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$，A，B为曲线l与曲线C的两个交点，则|AB|=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线C的参数方程化为普通方程，然后利用代数法或几何法解答．

解答 方法一：代数法
直线l：ρcosθ-ρsinθ+1=0⇒x-y+1=0，
曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$⇒x²+y²=2，
联立，$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得x²+（x+1）²-2=0，
即2x²+2x-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-1}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{6}$，选D．
方法二：几何法
直线l：ρcosθ-ρsinθ+1=0⇒x-y+1=0，
曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$⇒x²+y²=2，
圆心（0，0）到直线x-y+1=0的距离$d=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
半径$r=\sqrt{2}$，所以$|AB|=2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=\sqrt{6}$，选D．
注：当然此题也可以直接求出A，B两点的坐标，然后利用两点之间的距离公式求解．

点评 极坐标和参数方程问题一般化为熟悉的直角坐标问题，所以转化是解决此类问题的关键．