Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，实轴长为2，直线l：x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，
（1）求双曲线C的方程；  
（2）若线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值；
（3）若线段AB的长度为4$\sqrt{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的离心率和和实轴长即可求出a，b的值，问题得以解决，
（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），根据点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=5上，即可求出m的值，
（3）根据弦长公式即可求出m的值．

解答 解：（1）由题意，得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，2a=2，又因为c²=a²+b²
解得a=1，c=$\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=2
∴所求双曲线C的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{x+y+m=0}\end{array}\right.$得x²-2mx-m²-2=0，判别式△＞0，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=m，y₀=x₀+m=2m，
∵点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=5上，
∴m²+（2m）²=5，
∴m=±1．
（3）由$|{AB}|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$=$\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{2{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{2[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2[{{（2m）}^2}-4（-{m^2}-2）}]$=$4\sqrt{5}$
解得m=±2
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0

点评 本题考查了双曲线的性质和点和圆的位置关系和弦长公式，属于中档题