Question

7．给出命题p：方程$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2-a}=1$表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．
（1）如果命题p为真，求a的取值范围；
（2）如果命题“p∪q”为真，“p∩q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p为真，则2-a＞a＞0，解得：a的取值范围；
（2）如果命题“p∪q”为真，“p∩q”为假，则p，q中一真一假，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）命题p为真?2-a＞a＞0?0＜a＜1…（4分）
（2）命题q为真$?△={（2a-3）^2}-4＞0?a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}$
命题“p∨q”为真，“p∧q”为假?p，q中一真一假，…（6分）
当p真q假时，$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{2}≤a＜1$…（8分）
当p假q真时，$\left\{{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，得$a≤0或a＞\frac{5}{2}$
所以a的取值范围是$\frac{1}{2}≤a＜1$或$a≤0或a＞\frac{5}{2}$…（10分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的标准方程，二次函数的图象和性质，难度中档．