Question

17．如图，锐角△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，点M为BC的中点．
（Ⅰ）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AM}$；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|=3，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，求中线AM的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的加法以及中点的定义求出$\overrightarrow{AM}$即可；
（Ⅱ）求出∠BAC的余弦值，从而求出AM的长即可．

解答 解：（Ⅰ）∵M是BC的中点
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（Ⅱ）∵sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，△ABC是锐角三角形，
∴cos∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴${|\overrightarrow{AM}|}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）=$\frac{1}{4}$（25+2×5×3×$\frac{3}{5}$+9）=13，
∴|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{13}$，即中线AM=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查平面向量基本定理，模的几何意义，简单题．