Question

7．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x+y-2\;≥\;0\;\\ x+y-2\;≤\;0\;\\ x-y\;≥\;0\;\end{array}\right.$则$\frac{y}{2x+1}$的最大值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由$\frac{y}{2x+1}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（$-\frac{1}{2}$，0）连线的斜率的一半求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x+y-2\;≥\;0\;\\ x+y-2\;≤\;0\;\\ x-y\;≥\;0\;\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由$\frac{y}{2x+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{y-0}{x-（-\frac{1}{2}）}$，
而$\frac{y-0}{x-（-\frac{1}{2}）}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（$-\frac{1}{2}$，0）连线的斜率．
且${k}_{PA}=\frac{1-0}{1-（-\frac{1}{2}）}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{y}{2x+1}$的最大值为$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属中档题．