Question

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ为常数，A＞0，ω＞0，0＜ϕ≤π）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，最大值为2
（1）求A和ω的值；
（2）设函数f（x）为R上的偶函数．
①求函数f（x）的解析式；
②由函数y=f（x）的图象经过怎样的变换可以得到函数$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的图象．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的图象，三角函数的周期公式即可得解．
（2）①结合三角函数的奇偶性可求ϕ，进而可求函数解析式，②由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）∵函数的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，最大值为2，
∴A=2，T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，即ω=3．
（2）①∵由（1）可得：f（x）=2sin（3x+ϕ），
∵函数f（x）为R上的偶函数，
∴则ϕ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{2}$+2kπ）=2cos3x，k∈Z．
②∵f（x）=2cos3x，
∴把所得图象的横坐标变为原来的3倍，可得y=2cosx的图象；
把所得图象的纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得y=cosx的图象；
把函数y=cosx的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位，可得y=sinx的图象；
再把所得图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得函数$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的图象．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，属于中档题．