Question

2．定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，且对任意的实数x都有$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2 017）=（　　）

• A． 0
• B． -2
• C． 1
• D． -4

Answer 1

分析 根据f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$）求出函数的周期，由函数的图象的对称中心列出方程，由条件、周期性、对称性求出f（1）、f（2）、f（3）的值，由周期性求出答案．

解答 解：由f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$）得f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），即函数的周期为3，
又f（-1）=1，∴f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，
且f（$\frac{1}{2}$）=-f（-1）=-1，
∵函数图象关于点（$-\frac{3}{4}$，0）呈中心对称，
∴f（x）+f（-x-$\frac{3}{2}$）=0，则f（x）=-f（-x-$\frac{3}{2}$），
∴f（1）=-f（-$\frac{5}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=1，
∵f（0）=-2，∴f（3）=f（0）=-2，
则f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2017）=f（1）=1，
故选C．

点评 本题考查函数的周期性和对称性的应用，考查转化思想，化简、变形能力．