Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0）．点P（x₀，y₀）是椭圆C在x轴上方的动点，且△PF₁F₂的周长为16．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设点Q到△PF₁F₂三边的距离均相等．当x₀=3时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）求出P点坐标，设出Q的坐标，结合点Q到△PF₁F₂三边的距离均相等列方程组求得点Q的坐标．

解答 解：（Ⅰ）依题意，c=3，2a+2c=16，∴a=5，
从而b²=a²-c²=16，
故椭圆方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；
（Ⅱ）当x₀=3时，${y_0}=\frac{16}{5}＞0$，则直线PF₁的方程为：8x-15y+24=0，
直线PF₂的方程为：x=3，
设Q（x，y），则$\frac{{|{8x-15y+24}|}}{17}=y$，且y=3-x，其中8x-15y+24＞0，
解得$x=\frac{9}{5}$，$y=\frac{6}{5}$，
∴点Q的坐标为$（{\frac{9}{5}\;，\;\;\frac{6}{5}}）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，属中档题．