Question

3．设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对任意的实数x都有f（x）=4x²-f（-x），当x∈（-∞，0）时，f'（x）+$\frac{1}{2}$＜4x．若f（m+1）≤f（-m）+3m+$\frac{3}{2}$，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $[{-\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 因为f（x）-2x²+f（-x）-2x²=0，设g（x）=f（x）-2x²，则g（x）+g（-x）=0，可得g（x）为奇函数，又$g'（x）=f'（x）-4x＜-\frac{1}{2}$，得g（x）在（-∞，0）上是减函数，从而在R上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得g（m+1）≤g（-m），由此即可求出结果．

解答 解：∵f（x）-2x²+f（-x）-2x²=0，
设g（x）=f（x）-2x²+$\frac{1}{2}$x，则g（x）+g（-x）=0，
∴g（x）为奇函数，又g′（x）=f′（x）-4x+$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上是减函数，从而在R上是减函数，
又f（m+1）≤f（-m）+3m+$\frac{3}{2}$，
等价于f（m+1）-2（m+1）²≤f（-m）-2（-m）²，
即g（m+1）≤g（-m），
∴m+1≥-m，解得$m≥-\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，是一道中档题．