Question

13．设向量$\vec a，\vec b$的夹角为θ，已知向量$\vec a=（{x，\sqrt{3}}），\vec b=（{x，-\sqrt{3}}）$，若$（{2\vec a+\vec b}）⊥\vec b$，则θ=$\frac{2}{3}π$．

Answer 1

分析 根据条件，可先求出向量$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，并可得到$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=0$，进行数量积的运算，从而能求得x的值，从而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$及$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$的值，从而求出θ的值．

解答 解：$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（3x，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{b}=（x，-\sqrt{3}）$；
∵又$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{b}$；
∴$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=3{x}^{2}-3=0$；
∴x=±1；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1-3=-2，|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=2$；
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-2}{2×2}=-\frac{1}{2}$；
∴$θ=\frac{2}{3}π$．
故答案为：$\frac{2}{3}π$．

点评 考查向量坐标的数乘运算，以及向量数量积的坐标运算，向量余弦的计算公式．