Question

15．已知命题p：方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-m}=1$表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x²+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-m}=1$表示焦点在y轴上的椭圆，
∴0＜m+1＜3-m，
解得：-1＜m＜1，
∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（-1，1）；
若关于x的方程x²+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m²-4（2m+3）＜0，
即m²-2m-3＜0，得-1＜m＜3．
若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\ m≥3，或m≤-1\end{array}\right.$，此时无解，
柔p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜3\\ m≥1，或m≤-1\end{array}\right.$，得1≤m＜3．
综上，实数m的取值范围是[1，3）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的标准方程，方程根的存在性及个数判断，难度中档．