Question

4．（1）求函数y=2|x-1|-|x-4|的值域；
（2）若不等式2|x-1|-|x-a|≥-1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围求出函数f（x）的分段函数的形式，从而求出f（x）的值域即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵y=2|x-1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x≥4}\\{3x-6，1≤x≤4}\\{-x-2，x≤1}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{y≥6}\\{-3≤y≤6}\\{y≥-3}\end{array}\right.$，
故函数的值域是[-3，+∞）；
（2）f（x）=2|x-1|-|x-a|，
①a≥1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2+a，x≥a}\\{3x-2-a，1＜x＜a}\\{-（x-2+a），x≤1}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）≥2a-2}\\{1-a≤f（x）≤2a-2}\\{f（x）≥1-a}\end{array}\right.$，
而2a-2＞1-a，
此时f（x）的最小值是1-a，故只需1-a≥-1，
∴1≤a≤2；
②a＜1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2+a，x≥1}\\{3x-2-a，a＜x＜1}\\{-x+2-a，x≤a}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）≥-1+a}\\{-1＜f（x）＜2-2a}\\{f（x）≥2-2a}\end{array}\right.$，
此时a＜1时，-1+a＜2-2a，f（x）的最小值是a-1，
只需a-1≥-1，0≤a＜1，
综上，a的范围是[0，2]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数以及分类讨论思想，是一道中档题．