Question

12．非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a⊥（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$，则$\frac{{|{\overrightarrow a}|}}{{|{\overrightarrow b}|}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据条件便可得出$\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=0$，进行数量积的运算，便可得到$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|=0$，从而可求出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，且$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{2π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|=0$；
又$|\overrightarrow{a}|≠0，|\overrightarrow{b}|≠0$；
∴$2|\overrightarrow{a}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}|$；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{4}$．
故选B．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式．