Question

17．若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数m（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f'（m）满足f（b）-f（a）=f'（m）（b-a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{2}{3}，3）$
• B． （3，+∞）
• C． $（\frac{3}{2}，3）$
• D． $（{\frac{3}{2}，3}]$

Answer 1

分析 根据新定义得到x₁，x₂为方程x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b，列出不等式组，解得即可

解答 解：f′（x）=x²-2x，
设$\frac{f（b）-f（0）}{b-0}$=$\frac{1}{3}$b²-b，
由已知可得x₁，x₂为方程x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b=0在（0，b）上有两个不同根，
令g（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=-\frac{1}{3}{b}^{2}+b＞0}\\{g（b）=\frac{2}{3}{b}^{2}-b＞0}\\{b＞1}\\{△=4+\frac{4}{3}{b}^{2}-4b＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{2}$＜b＜3，
故选：C

点评 本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．