Question

7．已知${（{\frac{1}{a}+ax}）^4}+{（{\frac{1}{b}+bx}）^4}$的展开式中x与x³的项的系数之比为1：4，则a⁴+b⁴的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 12
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 直接利用${（{\frac{1}{a}+ax}）^4}+{（{\frac{1}{b}+bx}）^4}$的展开式中x与x³的项的系数之比为1：4，得到ab关系，然后利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：∵${（{\frac{1}{a}+ax}）^4}+{（{\frac{1}{b}+bx}）^4}$的展开式中x与x³的项的系数之比为1：4，
∴（$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$）：（4a²+4b²）=1：4，
∴|ab|=2，
∴a⁴+b⁴≥2|a²b²|=8．
故选：C．

点评 本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．