Question

17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=1，$\frac{sin（2A+B）}{sinA}=2（1-cosC）$．
（1）求b的值；
（2）若△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理可得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，结合a=1，可求b的值．
（2）利用三角形面积公式可求sinC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosC，分类讨论，利用余弦定理可求c的值．

解答 解：（1）∵由已知可得：sin（2A+B）=2sinA（1-cosC），
∴sin[（A+B）+A]=2sinA-2sinAcosC，可得：sin（A+B）cosA+cos（A+B）sinA=2sinA+2sinAcos（A+B），sin（A+B）cosA-cos（A+B）sinA=2sinA，
∴sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
又a=1，
∴b=2．
（2）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×1×2sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$cosC=±\frac{1}{2}$，
当$cosC=\frac{1}{2}$时，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{1+4-{c^2}}}{4}=\frac{1}{2}$，∴$c=\sqrt{3}$；
当$cosC=-\frac{1}{2}$时，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{1+4-{c^2}}}{4}=-\frac{1}{2}$，∴$c=\sqrt{7}$．
故$c=\sqrt{3}$或$c=\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．