Question

12．在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{3}$、$2\sqrt{6}$，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为8$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．

解答 解：三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，
设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=4$\sqrt{6}$，ac=4$\sqrt{3}$，bc=4$\sqrt{2}$，
解得：a=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$，c=2，
所以球的直径为：$\sqrt{12+8+4}$=2$\sqrt{6}$
所以球的半径为$\sqrt{6}$，
所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为$\frac{4}{3}π•（\sqrt{6}）^{3}$=8$\sqrt{6}$π
故答案为：8$\sqrt{6}$π．

点评 本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．