Question

4．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$a=bcosC+\sqrt{3}csinB$．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{3}$，c=2，AC边的中点为D，求BD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得$cosBsinC=\sqrt{3}sinCsinB$，结合sinC≠0，可求tanB，由B的范围利用特殊角的三角函数值可求B的值．
（Ⅱ）由题意可得$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}）$，平方后，利用平面向量数量积的运算即可计算求值得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$a=bcosC+\sqrt{3}csinB$，
∴$sinA=sinBcosC+\sqrt{3}sinCsinB$，
∴$sin（{B+C}）=sinBcosC+\sqrt{3}sinCsinB$，
∴$cosBsinC=\sqrt{3}sinCsinB$，
∵sinC≠0，
∴$cosB=\sqrt{3}sinB⇒tanB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵B是三角形的内角，
∴$B=\frac{π}{6}$…6分
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}）$，
∴${\overrightarrow{BD}^2}=\frac{1}{4}{（{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}）^2}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{4}$（c²+a²+2×a×c×cosB）=$\frac{1}{4}$（4+3+2×$2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{13}{4}$，
∴$|{\overrightarrow{BD}}|=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$…12分
（其他形式解答可酌情给分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，特殊角的三角函数值，平面向量数量积的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．