Question

14．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左顶点为A（-2，0）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知O为坐标原点，B，C是椭圆E上的两点，连接AB的直线平行OC交y轴于点D，证明：|AB|$，\;\;\sqrt{2}|{OC}|\;\;，\;\;|{AD}$|成等比数列．

Answer 1

分析 （1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a=2得，$c=b=\sqrt{2}$，即可得出．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），OC：y=kx，则AB：y=k（x+2），将y=k（x+2）代入椭圆方程整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，利用根与系数的关系、弦长公式可得：|AB|，|AD|．将y=kx代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，整理得（1+2k²）x²-4=0，可得|OC|²．可得|AB|•|AD|=2|OC|²，即可证明．

解答 解：（1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a=2得$c=b=\sqrt{2}$，
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
证明有：（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），OC：y=kx，则AB：y=k（x+2），
将y=k（x+2）代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
∴$-2{x_1}=\frac{{8{k^2}-4}}{{1+2{k^2}}}$，得${x_1}=\frac{{2-4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}+2}|=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}$，$|{AD}|=\sqrt{1+{k^2}}|{0+2}|=2\sqrt{1+{k^2}}$，
$|{AB}|•|{AD}|=\frac{{8（{1+{k^2}}）}}{{1+2{k^2}}}$．
将y=kx代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，整理得（1+2k²）x²-4=0，
得$x_2^2=\frac{4}{{1+2{k^2}}}$，${|{OC}|^2}=（{1+{k^2}}）x_2^2=\frac{{4（{1+{k^2}}）}}{{1+2{k^2}}}$．
故|AB|•|AD|=2|OC|²，
所以，$|{AB}|，\sqrt{2}|{OC}|，|{AD}|$成等比数列．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．