Question

13．已知函数f（x）=（x-1）e^x-ax²，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤-$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．

解答 解：函数f（x）=（x-1）e^x-ax²，可得f′（x）=x（e^x-2a），
令x（e^x-2a）=0可得，x=0或e^x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，
并且f（0）=-1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，
也就是若y=f（x）在x∈[-1，1]上有且仅有两个不同的零点，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2{e}^{-1}-a≥0}\\{-a≥0}\end{array}\right.$，可得a$≤-\frac{2}{e}$．
当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f（0）＜0，可知不满足题意；
如果ln（2a）＞0，必有可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2{e}^{-1}-a≥0}\\{-a≥0}\end{array}\right.$，可得a$≤-\frac{2}{e}$．与a＞0矛盾；
综上：a≤-$\frac{2}{e}$
故答案为：a≤-$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．