Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-a_n．
（1）证明：{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，令${c_n}=\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=1-a₁，所以${a_1}=\frac{1}{2}$，当n≥2时，S_n-1=1-a_n-1，S_n=1-a_n，两式相减得2a_n=a_n-1，即可得出结论；
（2）求出数列的通项，利用裂项法求和即可．

解答 （1）证明：当n=1时，a₁=1-a₁，所以${a_1}=\frac{1}{2}$，
当n≥2时，S_n-1=1-a_n-1，S_n=1-a_n，
两式相减得2a_n=a_n-1，
所以$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$．
因此{a_n}是首项为${a_1}=\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
于是${a_n}=\frac{1}{2}{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^n}$．
（2）解：由${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}{（{\frac{1}{2}}）^n}=-n$，
所以${c_n}=\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
${T_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{2n+1}}）}]$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查等比数列的证明，考查裂项法的运用，属于中档题．