Question

11．已知函数$f（x）=xlnx-\frac{a}{2}{x^2}$，直线l：y=（k-2）x-k+1，且k∈Z．
（1）若$?{x_0}∈[{e，{e^2}}]$，使得f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围；
（2）设a=0，当x＞1时，函数f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）问题转化为$a＜\frac{2lnx}{x}$，令$h（x）=\frac{2lnx}{x}$，x∈[e，e²]，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可；
（2）问题转化为$k＜\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，令$h（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出k的最大整数值即可．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{a}{2}{x^2}＜xlnx$，即$a＜\frac{2lnx}{x}$，
令$h（x）=\frac{2lnx}{x}$，x∈[e，e²]，
∴$h'（x）=\frac{2-2lnx}{x^2}$，
令h'（x）＞0，解得0＜x＜e，
∴h（x）在x∈[e，e²]上递减，
∴当x=e时，$h{（x）_{max}}=\frac{2}{e}$，
∴$a＜\frac{2}{e}$，即a的取值范围是$（-∞，\frac{2}{e}）$．
（2）由题意可知xlnx＞x（k-2）-k+1在x∈（1，+∞）上恒成立，
即$k＜\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，
令$h（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，
∴$h'（x）=\frac{x-lnx-2}{{{{（x-1）}^2}}}$，
令φ（x）=x-lnx-2（x＞1），$φ'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}＞0$，
∴φ（x）在x∈（1，+∞）上递增，又φ（3）=1-ln3＜0，φ（4）=2-ln4＞0，
∴存在唯一实数x₀∈（3，4），使得φ（x₀）=0，即x₀-lnx₀-2=0，（*）
∴h（x）在x∈（1，x₀）上递减，在x∈（x₀，+∞）上递增，
∴h（x）_min=h（x₀）=$\frac{{{x_0}ln{x_0}+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}（{x_0}-2）+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}={x_0}+1∈（4，5）$，
∴k＜h（x）_min，又k∈Z，∴k的最大值为4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．