Question

13．已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0＜α＜π，则tan（α-$\frac{π}{4}$）=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由平方关系化简已知的式子求出2sinαcosα的值，由三角函数值的符号和α的范围进一步缩小α的范围，由正切函数的性质求出tanα的范围，由条件和同角三角函数的基本关系列出方程，化简后求出tanα的值，由两角差的正切公式化简、求值．

解答 解：由题意知，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
两边平方得，2sinαcosα=$-\frac{7}{9}＜0$，
∵0＜α＜π，且sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$＞0
∴$\frac{π}{2}＜α＜\frac{3π}{4}$，则tanα＜-1，
又$2sinαcosα=\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}=-\frac{7}{9}$，
则$\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+1}=-\frac{7}{9}$，
解得tanα=$\frac{-9-4\sqrt{2}}{7}$或tanα=$\frac{-9+4\sqrt{2}}{7}$（舍去），
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-tan\frac{π}{4}}{1+tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$
=$\frac{\frac{-9-4\sqrt{2}}{7}-1}{1+\frac{-9-4\sqrt{2}}{7}}$=$\frac{8+2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}$=$2\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查两角差的正切函数，同角三角函数的基本关系，三角函数值的符号，以及角的范围缩小的方法，考查化简、变形、计算能力．