Question

2．已知对数函数f（x）=log_ax（a＞0．a≠1）与反比例函数$g（x）=\frac{k}{x}$的图象均过点$（2，\frac{1}{2}）$．
（1）求出y=f（x）及y=g（x）的表达式；
（2）求关于x的不等式g[f（x）]＜2的解集．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：${log_a}2=\frac{1}{2}$，$\frac{k}{2}=\frac{1}{2}$，进而可得a，k的值，得到y=f（x）及y=g（x）的表达式；
（2）由（1）g[f（x）]＜2即$\frac{1}{{{{log}_4}x}}＜2$，解对数不等式可得答案．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由题意对数函数f（x）=log_ax的图象过点$（2，\frac{1}{2}）$
所以${log_a}2=\frac{1}{2}$，得a=4，于是f（x）=log₄x…（3分）
又反比例函数$g（x）=\frac{k}{x}$的图象过点$（2，\frac{1}{2}）$
所以$\frac{k}{2}=\frac{1}{2}$，得k=1，于是$g（x）=\frac{1}{x}$…（6分）
（2）由（1）g[f（x）]＜2即$\frac{1}{{{{log}_4}x}}＜2$…（7分）
当log₄x＞0时，即x＞1，${log_4}x＞\frac{1}{2}={log_4}2$，得2＜x，
所以x＞2…（9分）
当log₄x＜0时，即0＜x＜1，$\frac{1}{{{{log}_4}x}}＜2$始终成立．
所以0＜x＜1…（11分）
于是关于x的不等式g[f（x）]＞2的解集为（0，1）∪（2，+∞）…（12分）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，是函数的简单综合应用，难度中档．