Question

17．已知两条坐标轴是圆C₁：（x-1）²+（y-1）²=1与圆C₂的公切线，且两圆的圆心距是3$\sqrt{2}$，求圆C₂的方程．

Answer 1

分析 分类讨论，设出圆心坐标，利用两圆的圆心距是3$\sqrt{2}$，求出圆心与半径，即可求圆C₂的方程．

解答 解：由题意知，圆C₂的圆心C₂在直线y=x或y=-x上．
（1）设C₂（a，a）．因为两圆的圆心距是3$\sqrt{2}$，即C₂（a，a）与C₁（1，1）的距离是3$\sqrt{2}$，所以$\sqrt{2（a-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得a=4或a=-2，…（6分）
此时圆C₂的方程是（x-4）²+（y-4）²=16或（x+2）²+（y+2）²=4．
（2）设C₂（b，-b）．因为C₂（b，-b）与C₁（1，1）的距离是3$\sqrt{2}$，
所以$\sqrt{（b-1）^{2}+（b+1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得b=$±2\sqrt{2}$．
此时圆C₂的方程是（x-2$\sqrt{2}$）²+（y+2$\sqrt{2}$）²=8或（x+2$\sqrt{2}$）²+（y-2$\sqrt{2}$）²=8．
故圆C₂的方程（x-4）²+（y-4）²=16或（x+2）²+（y+2）²=4或（x-2$\sqrt{2}$）²+（y+2$\sqrt{2}$）²=8或（x+2$\sqrt{2}$）²+（y-2$\sqrt{2}$）²=8．…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．