Question

设F₁、F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，M，N分别为其短釉的两个端点，且四边形MF₁NF₂的周长为4设过F₁的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=．
（1）求|AF₂|•|BF₂|的最大值；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求△ABF₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的定义，结合四边形的周长，及|AB|的长，利用基本不等式，即可求|AF₂|•|BF₂|的最大值；
（2）设出直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|的长，求出直线方程，即可求△ABF₂的面积．
解答：解：（1）∵四边形MF₁NF₂为菱形，周长为4，∴a=1
由椭圆的定义可知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a=4，
∵|AB|=，∴|AF₂|+|BF₂|=
∴|AF₂|•|BF₂|≤=
当且仅当|AF₂|=|BF₂|=时，等号成立，即|AF₂|•|BF₂|的最大值为；
（2）∵直线l的倾斜角为45°，∴可设l的方程为y=x+c，其中
由（1）知椭圆E的方程为
直线方程代入椭圆方程，化简可得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∵|AB|=|x₁-x₂|=
∴=
∴
∴c=
∴l的方程为
∴F₂到l的距离d=1
∴
点评：本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．