Question

13．若z₁=$\frac{（1+2i）^{4}}{（3-i）^{3}}$，z₂=$\frac{\overline{{z}_{1}}}{2-i}$，则|z₂|=$\frac{\sqrt{829450}}{2500}$．

Answer 1

分析 利用复数代数形式的乘除运算化简z₁，代入z₂=$\frac{\overline{{z}_{1}}}{2-i}$再利用复数代数形式的乘除运算化简，最后由模的计算公式求模．

解答 解：z₁=$\frac{（1+2i）^{4}}{（3-i）^{3}}$=$\frac{[（1+2i）^{2}]^{2}}{（3-i）^{3}}$=$\frac{（-3+4i）^{2}}{{3}^{3}-3•{3}^{2}i+3•3{i}^{2}-{i}^{3}}$
=$\frac{9-24i+16{i}^{2}}{18-26i}$=$\frac{-7-24i}{18-26i}$=$\frac{（-7-24i）（18+26i）}{（18-26i）（18+26i）}$=$\frac{498-614i}{1000}$=$\frac{249-307i}{500}$．
∴$\overline{{z}_{1}}=\frac{249}{500}+\frac{307}{500}i$，
则z₂=$\frac{\overline{{z}_{1}}}{2-i}$=$\frac{（\frac{249}{500}+\frac{307}{500}i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{291}{2500}+\frac{863}{2500}i$．
∴|z₂|=$\frac{\sqrt{829450}}{2500}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{829450}}{2500}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，关键是解决繁杂的运算，是基础题．