Question

【题目】已知a，b，c，d∈E，证明下列不等式：
（1）（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；
（2）a2+b2+c2≥ab+bc+ca．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）

=（ad﹣bc）2≥0，

∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立

（2）证明：a2+b2+c2

= （a2+b2+c2+a2+b2+c2）

≥ （2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca

【解析】（1）根据不等式的左边减去右边化简结果为 （ad﹣bc）2≥0，可得不等式成立（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．