Question

5．已知各项均为整数的数列{a_n}满足a_n²≤1，1≤a₁²+a₂²+…+a_n²≤m，m，n∈N^*．
（1）若m=1，n=2，写出所有满足条件的数列{a_n}；
（2）设满足条件的{a_n}的个数为f（n，m）．
①求f（2，2）和f（2016，2016）；
②若f（m+1，m）＞2016，试求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）若m=1，n=2，1≤$a_1^2+a_2^2$≤1，又$a_n^2$≤1，即可求得所有满足条件的数列{a_n}；
（2）①）当m=n=2时，1≤$a_1^2+a_2^2$≤2，由a₁、a₂可能取值为0，1，-1，则a₁、a₂取值共有：3²-1=8种，
当m=n=2016时，1≤$a_1^2+a_2^2+…+a_{2016}^2$≤2016，a₁、a₂、a₂₀₁₆可能取值为0，1，-1，共有：3²⁰¹⁶-1种；
②由f（m+1，m）=3^m+1-1-2^m+1，将原式转换为3^m+1-2^m+1＞2017，构造辅助函数g（m）=3^m+1-2^m+1，做差g（m+1）-g（m）=2×3^m+1-2^m+1＞0，g（x）单调递增，又g（6）=2059成立，即可求得m的最小值．

解答 解：（1）当m=1，n=2时，1≤$a_1^2+a_2^2$≤1，又$a_n^2$≤1
∴{a_n}为0，1或0，-1或1，0或-1，0
（2）①当m=n=2时，1≤$a_1^2+a_2^2$≤2，a₁、a₂取值共有：3²-1=8种，
即f（2，2）=8，
又当m=n=2016时，1≤$a_1^2+a_2^2+…+a_{2016}^2$≤2016，a₁、a₂、a₂₀₁₆取值共有：3²⁰¹⁶-1种；
即f（2016，2016）=3²⁰¹⁶-1f（m+1，m）＞2016即1≤$a_1^2+a_2^2+…+a_{m+1}^2$≤m
②数列{a_n}需满足不能全为0，不能没有0（即每项均为1或-1），
∴f（m+1，m）=3^m+1-1-2^m+1，
即考虑3^m+1-2^m+1-1＞2016，
令g（m）=3^m+1-2^m+1，
则g（m+1）-g（m）=2×3^m+1-2^m+1＞0
∴g（m）单调增
又g（6）=2059成立，
∴m最小值为6．

点评 本题以数列为模型考查数列的取值、计数原理的应用及采用做差法求函数的单调性，考查分析问题及解决问题的能力，综合应用能力强，属于中档题．