Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有3个实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），

令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=1，列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

当x=﹣1时，有极大值f（﹣1）=2；

当x=1时，有极小值f（1）=﹣2．

（II）要f（x）=k有3个实根，

由（I）知：f（1）＜k＜f（﹣1），

即﹣2＜k＜2，

∴k的取值范围是（﹣2，2）

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题转化为y=f（x）和y=k有3个交点，根据f（x）的极大值和极小值求出k的范围即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．