Question

14．如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为1₁，1₂，经过右焦点F垂直于1₁的直线分别交1₁，1₂于A，B两点，若|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{OB}$|依次成等差数列，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，即可求出离心率．

解答 解：由题意，∵|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{OB}$|依次成等差数列，
∴2|AB|=|OB|+|OA|，
∵|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵2|AB|=|OB|+|OA|
∴|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|，
∴tan∠AOB=$\frac{4}{3}$
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$∠AOB）
∴$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，∴2k²+3k-2=0，∴k=$\frac{1}{2}$（k=-2舍去）；
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=2b，
∴c=$\sqrt{5}$b
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，由|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．