Question

已知椭圆的离心率为， 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由直线和圆相切，求，再由离心率，得，从而求，进而求椭圆的方程；（2）要说明直线、的斜率之积是否为定值，关键是确定、两点的坐标.首先设直线的方程，并与椭圆联立，设，利用三点共线确定、两点的坐标的坐标，再计算直线、的斜率之积，这时会涉及到，结合根与系数的关系，研究其值是否为定值即可．

试题解析：（1），故 4分

（2）设，若直线与纵轴垂直，

则中有一点与重合，与题意不符，

故可设直线. 5分

将其与椭圆方程联立，消去得：

6分

7分

由三点共线可知，，， 8分

同理可得 9分

10分

而 11分

所以

故直线、的斜率为定值. 13分

考点：1、椭圆的标准方程和简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系.