Question

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+acosβ}\\{y=asinβ}\end{array}\right.$（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；
（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求△OAB的面积最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据sin²β+cos²β=1消去β为参数可得曲线C的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，直线l的极坐标方程化为普通方程，曲线C与l只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，可得a的值．
（Ⅱ）利用极坐标方程的几何意义求解即可．

解答 （Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；
直线l的直角坐标方程为$x+\sqrt{3}y-3=0$
由直线l与圆C只有一个公共点，则可得$\frac{|a-3|}{2}=a$
解得：a=-3（舍）或a=1
所以：a=1．
（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0）
设A的极角为θ，B的极角为$θ+\frac{π}{3}$
则：${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|OB|•|OA|Sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}|2acosθ|•|2acos（θ+\frac{π}{3}）|$=$\sqrt{3}{a}^{2}|cosθ•cos（θ+\frac{π}{3}）|$
∵cos$θ•cos（θ+\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}cos（2θ+\frac{π}{3}）+\frac{1}{4}$
所以当$θ=-\frac{π}{6}$时，$\frac{1}{2}cos（2θ+\frac{π}{3}）+\frac{1}{4}$取得最大值$\frac{3}{4}$
∴△OAB的面积最大值为$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$．
解法二：因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且$∠AOB=\frac{π}{3}$
由正弦定理得：$\frac{|AB|}{sin\frac{π}{3}}=2a$，所以|AB=$\sqrt{3}a$
由余弦定理得：|AB²=3a²=|0A|²+|OB|²-|OA||OB|≥|OA||OB|
则：${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|OB|•|OA|Sin\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{2}$×$3{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$．
∴△OAB的面积最大值为$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题