Question

8．已知实数x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x+y-a≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{y+1}{x+1}$的最小值为-$\frac{1}{4}$，则正数a的值为（　　）

• A． $\frac{7}{6}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=$\frac{y+1}{x+1}$表示过点（x，y）与（-1．-1）连线的斜率，只需求出可行域内的点与（-1，-1）连线的斜率即可．作出最优解，代入方程求解a即可．

解答 解：实数x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x+y-a≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$的可行域如图：
∵z=$\frac{y+1}{x+1}$表示过点（x，y）与（-1．-1）连线的斜率，
易知a＞0，所以可作出可行域，可知可行域的A与（-1，-1）连线的斜率最小，由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-a=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$解得A（1+$\frac{a}{4}$，$\frac{a}{2}-2$）
z=$\frac{y+1}{x+1}$的最小值为-$\frac{1}{4}$，
即（$\frac{y+1}{x+1}$）min=$\frac{\frac{a}{2}-2+1}{\frac{a}{4}+1+1}$=$\frac{2a-4}{a+8}$=$-\frac{1}{4}$⇒a=$\frac{8}{9}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．涉及到线性规划的题目，每年必考；就此题而言，目标函数的几何意义是解决本题的关键，一般来说，高考题中的分式结构在处理方式上一般是分离变形，这样其几何意义就表现来了．是中档题．