Question

17．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．
（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE?α，且BF∥α，并说明理由；
（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中点G，连接EG，DG，证明平面ABF∥平面EDG，可得结论；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG，DG，则平面EDG为所求．
∵AD=2，BG=2，AD∥BC，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵AB?平面EDG，DG?平面EDG，
∴AB∥平面EDG．
同理AF∥平面EDG，
∵AB∩AF=A，
∴平面ABF∥平面EDG，
∵FB?平面ABF，
∴BF∥平面EDG；
（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD为y轴，AF为z轴，过A垂直于AD的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则F（0，0，4），E（0，2，1），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，3，0），
∴$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，3），$\overrightarrow{BC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{3}$，3，1），
设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{4y=0}\\{-\sqrt{3}x+3y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，3），则直线EF与平面BCE所成角的正弦值=$\frac{9}{\sqrt{4+9}•\sqrt{3+9}}$=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．

点评 本题考查直线与平面是否平行的判断与证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．