Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_m-1=-4，S_m=0，S_m+2=14（m≥2，且m∈N*）．
（1）求m的值；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{a}_{n}}{2}$=log_ab_n（n∈N*），求数列{（a_n+6）•b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）计算a_m，a_m+1+a_m+2，利用等差数列的性质计算公差d，再代入求和公式计算m；
（2）求出a_n，b_n，得出数列{（a_n+6）•b_n}的通项公式，利用错位相减法计算．

解答 解：（1）∵S_m-1=-4，S_m=0，S_m+2=14，
∴a_m=S_m-S_m-1=4，a_m+1+a_m+2=S_m+2-S_m=14．
设{a_n}的公差为d，则2a_m+3d=14，∴d=2．
∵S_m=$\frac{{a}_{1}+{a}_{m}}{2}×m$=0，∴a₁=-a_m=-4．
∴a_m=a₁+（m-1）d=-4+2（m-1）=4，
∴m=5．
（2）由（1）可得a_n=-4+2（n-1）=2n-6．
∵$\frac{{a}_{n}}{2}$=log_ab_n，即n-3=log_ab_n，
∴b_n=a^n-3，
∴（a_n+6）•b_n=2n•a^n-3，
设数列{（a_n+6）•b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=2•a^-2+4•a^-1+6•a⁰+8•a+…+2n•a^n-3，①
∴aT_n=2•a^-1+4•a⁰+6•a+8•a²+…+2n•a^n-2，②
①-②得：
（1-a）T_n=2a^-2+2a^-1+2a⁰+2a+…+2a^n-3-2n•a^n-2，
=$\frac{2{a}^{-2}（1-{a}^{n}）}{1-a}$-2n•a^n-2
=$\frac{2{a}^{-2}}{1-a}$-$\frac{2（n-na+1）{a}^{n-2}}{1-a}$，
∴T_n=$\frac{2{a}^{-2}}{（1-a）^{2}}$-$\frac{2（n-na+1）{a}^{n-2}}{（1-a）^{2}}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．