Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，$a=2\sqrt{2}$，${sinC}=\sqrt{2}sinA$．
（Ⅰ）求边c的值；
（Ⅱ） 若$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知的式子，由条件求出c的值；
（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，化简后求出b的值，由平方关系求出sinC的值，代入三角形的面积公式求出答案．

解答 解：（Ⅰ）因为a=$\sqrt{2}$，$sinC=\sqrt{2}sinA$，
所以由正弦定理得c=$\sqrt{2}$a=4…（4分）
（Ⅱ）因为c=4，$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
所以由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
则$16=8+{b^2}-2×2\sqrt{2}×b×\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
化简，b²-2b-8=0，解得b=4或b=-2（舍去），
由$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$得，$sinC=\sqrt{1-co{s}^{2}C}=\frac{\sqrt{14}}{4}$，
所以△ABC面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4×\frac{{\sqrt{14}}}{4}=2\sqrt{7}$ …（10分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，平方关系，以及三角形面积公式的应用，属于中档题．