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    已知函数f(x)=
    1
    2
    x2+(a-3)x+lnx    ．
    （Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
    （Ⅱ）方程f(x)=(
    1
    2
    -a)x2+(a-2)x+2lnx    ．有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
    （Ⅲ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点的横坐标为x0，有f′（x0）=
    y1-y2
    x1-x2
    成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（I）求出导函数，令导函数大于等于0恒成立或小于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出a的范围，从而求出a的最小值．
    （Ⅱ）由f(x)=(
    1
    2
    -a)x    2    +(a-2)x+2lnx    =0，得a=
    lnx+x
    x2
    ，令r（x）=
    lnx+x
    x2
    ，利用导数研究其单调性及最值，从而得出要使y=
    lnx+x
    x2
    与y=a有两个不同的交点，求出实数a的取值范围；
    （III）利用两点连线的斜率公式求出k并且化简k，求出f′（x0）列出方程，通过换元构造新函数，通过导数判断出函数的单调性，求出最值，得到矛盾．
    解答：解：（Ⅰ）f/(x)=x+a-3+
    1
    x
    (x＞0)    ．（2分）
    若函数f（x）在（0，+∞）上递增，
    则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即a≥-(x+
    1
    x
    )+3    对x＞0恒成立，
    而当x＞0时，-(x+
    1
    x
    )+3≤-2+3=1    ．
    ∴a≥1．
    若函数f（x）在（0，+∞）上递减，
    则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即a≤-(x+
    1
    x
    )+3    对x＞0恒成立，
    这是不可能的．
    综上，a≥1．
    a的最小值为1．（6分）
    （Ⅱ）由f(x)=(
    1
    2
    -a)x    2    +(a-2)x+2lnx    =0，
    得：(a-
    1
    2
    )x    2    +(2-a)x=2lnx    ，
    即：a=
    lnx+x
    x2
    ，令r（x）=
    lnx+x
    x2
    ，r′（x）=
    (
    1
    x
    +1)x2-2x(lnx+x) 
    x4
    =
    1-x-2lnx
    x3

    得1-x-2lnx=0的根为1，
    所以当0＜x＜1时，r′（x）＞0，则r（x）单调递增，
    当x＞1时，r′（x）＜0，则r（x）单调递减，
    所以r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1，
    又x→0时r（x）→0，又x→+∞时，r（x）→0，
    所以要使y=
    lnx+x
    x2
    与y=a有两个不同的交点，则有 0＜a＜1                                       …8分
    （III）假设存在，不妨设0＜x1＜x2.k=
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    =
    1
    2
    x
    2
    1
    +(a-3)x1+lnx1-
    1
    2
    x
    2
    2
    -(a-3)x2-lnx2
    x1-x2
    =x0+(a-3)+
    ln
    x1
    x2
    x1-x2
    ．（9分）
    f/(x0)=x0+(a-3)+
    1
    x0
    ．
    若k=f′（x0），则
    ln
    x1
    x2
    x1-x2
    =
    1
    x0
    ，即
    ln
    x1
    x2
    x1-x2
    =
    2
    x1+x2
    ，即ln
    x1
    x2
    =
    2
    x1
    x2
    -2
    x1
    x2
    + 1
    ．（*）（12分）
    令t=
    x1
    x2
    ，u(t)=lnt-
    2t-2
    t+1
    （0＜t＜1），
    则u′(t)=
    (t-1)2
    t(t+1)2
    ＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，
    ∴u（t）＜u（1）=0，
    ∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x0）．
    因此，满足条件的x0不存在．（16分）
    点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值、存在性问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．解决是否存在这种探索性的问题，常假设存在去求，若求出则存在，若求不出则不存在．
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    （1）、已知函数f(x)=
    1+
    		2
    cos(2x-
    π
    4
    )
    sin(x+
    π
    2
    )
    ．若角α在第一象限且cosα=
    3
    5
    ，求f(α)    ．
    （2）函数f(x)=2cos2x-2
    		3
    sinxcosx    的图象按向量
    m
    =(
    π
    6
    ，-1)    平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=(1-
    a
    x
    )ex    ，若同时满足条件：
    ①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
    ②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
    则实数a的取值范围是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1+lnx
    x
    ．
    （1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
    1
    2
    )    上存在极值，求实数a的取值范围；
    （2）当x≥1时，不等式f(x)≥
    k
    x+1
    恒成立，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1+
    1
    x
    ，(x＞1)
    x2+1，(-1≤x≤1)
    2x+3，(x＜-1)
    ．
    （1）求f(
    1
    		2
    -1
    )    与f（f（1））的值；
    （2）若f(a)=
    3
    2
    ，求a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
    1-m•2x1+m•2x
    ．
    （1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
    （2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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