Question

（本小题满分12分）

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．

求证：

（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；

（Ⅱ）平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）取DD₁中点E,易得AF∥CE且AF＝CE，可得AFC₁E…………3分

M为线段AC₁的中点，M在线段EF上，连结BD MF∥BD．

       又MF平面ABCD，BD平面ABCD,∴MF∥平面ABCD．     …………6分

   （Ⅱ）连结BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，可知A₁A⊥平面ABCD.

       又∵BD平面ABCD，∴A₁A⊥BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD． ……8分

       又∵AC∩A₁A=A，AC，AA₁平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．………10分

       由（Ⅰ）得MF∥BD，∴MF⊥平面ACC₁A₁，又因为MF平面AFC₁

       ∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁.