Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、AA₁的中点，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AA₁=4，AB=AC=2，且$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$．
（1）证明：B₁D∥平面CEF；
（2）求异面直线CE与C₁D所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中点G，连结AG，推导出四边形ADB₁G为平行四边形，由此能证明B₁D∥平面CEF．
（2）分别以AC、AB、AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE与C₁D所成角的余弦值．

解答 证明：（1）取A₁B₁的中点G，连结AG，
∵$\overrightarrow{{A}_{1}F}=\frac{1}{4}\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，∴F为A₁A的中点，又E为AA₁中点，∴EF∥AG，
∵A₁B₁$\underset{∥}{=}$AB，D为AB中点，∴$AD\underset{∥}{=}{B}_{1}G$，
∴四边形ADB₁G为平行四边形，
∴AG∥B₁D，∴EF∥B₁D，又EF?平面CEF，B₁D?平面CEF，
∴B₁D∥平面CEF．
解：（2）分别以AC、AB、AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C₁（2，0，4），C（2，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（-2，1，-4），$\overrightarrow{CE}$=（-2，0，2），
∴cos＜$\overrightarrow{{C}_{1}D}$，$\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{{C}_{1}D}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{{C}_{1}D}||\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{4-8}{\sqrt{21}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{42}}{21}$，
∴异面直线CE与C₁D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{42}}{21}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．