Question

15．已知数列{a_n}．
（1）若a_n=n²-5n+4．
①数列中有多少项是负数？
②n为何值时，a_n有最小值？并求出最小值．
（2）若a_n=n²+kn+4且对于n∈N^*都有a_n+1＞a_n，求数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①令a_n=n²-5n+4＜0，解不等式即可得到所求结论；
②a_n=（n-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，由n为整数，即可得到所求最小值；
（2）由题意可得（n+1）²+k（n+1）+4＞n²+kn+4，即有-k＜2n+1恒成立，求得2n+1的最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）①令a_n=n²-5n+4＜0，
可得1＜n＜4，即n=2，3．
数列中有两项是负数；
②a_n=n²-5n+4=（n-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
由于n为整数，可得n=2，3时，
a₂=a₃为最小值，且为-2；
（2）由题意可得（n+1）²+k（n+1）+4＞n²+kn+4，
即有-k＜2n+1恒成立，
由2n+1≥3，n=1时，取得最小值3．
则-k＜3，解得k＞-3．
即有k的取值范围为（-3，+∞）．

点评 本题考查数列的单调性的判断和运用，考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．