Question

5．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（a＜c），且$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC．
（1）若sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求cosB的值；
（2）若S_△ABC=2$\sqrt{3}$，a=4，求c．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理可得cosC=$\frac{1}{2}$，可得C=$\frac{π}{3}$，再由同角三角函数基本关系和和差角的三角函数公式可得；
（2）由余弦定理和三角形的面积公式，代值计算可得．

解答 解：（1）∵$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC，
∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，
由三角形的内角可得sinC＞0，故cosC=$\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，
∵sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，a＜c，∴A不可能为钝角，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosB=-cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\frac{（\sqrt{3}-3）\sqrt{10}}{20}$；
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$•4b•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
解得b=2，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=16+4-2×4×2×$\frac{1}{2}$=12，
可得c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正弦定理和和差角的三角函数，属基础题．