Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点．
（1）求二面角O₁-BC-D的大小；
（2）求点E到平面O₁BC的距离．

Answer 1

分析：本题一个求二面角与点到面距离的题，
（1）求二面角的方法有二，一是用立体几何法，作出它的平面角，求之，二是利用向量求二面角，需要建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用数量积公式求出二面角的余弦，再求角．
（2）求点到面的距离也有二种方法，一种是几何法，作出点到面的垂线段，用解三角形的方法求之．
二是用向量法，找出平面上一点与此点相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离．

解答：证明：（I）过O作OF⊥BC于F，连接O₁F，
∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，
∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角，…（3分）
∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=

3

．
在Rt△O₁OF在，tan∠O₁FO=

OO1

OF

=

3

3

=

3

，
∴∠O₁FO=60°即二面角O₁-BC-D为60°…（6分）
解：（II）在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位线，∴OE∥O₁C
∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交线O₁F．
过O作OH⊥O₁F于H，则OH是点O到面O₁BC的距
离，…（9分）

点E到面O₁BC的距离等于OH，sin60°=

OH

OF

=

OH

3

∴OH=

3

2

．∴点E到面O₁BC的距离等于

3

2

．…（12分）
解：法二：（I）在正方体中，有OO₁⊥平面AC，∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2

3

，OB=2
则A（2

3

，0，0），B（0，2，0），C（-2

3

，0，0），
O₁（0，0，3）∴

O1B

=(0，2，-3)，

O1C

=(-2

3

，0，-3)
设平面O₁BC的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

n1

⊥

O1B

，

n1

⊥

O1C

，
∴

2y-3z=0 -2 3 x-3z=0

，则z=2，x=-

3

，y=3，
∴

n1

=（-

3

，3，2），而平面AC的法向量

n2

=（0，0，3）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

3×4

=

1

2

，
设O₁-BC-D的平面角为α，∴cosα=

1

2

，∴α=60°．
故二面角O₁-BC-D为60°．
（II）设点E到平面O₁BC的距离为d，
∵E是O₁A的中点，∴

EO1

=（-

3

，0，

3

2

），
则d=

| EO1 • n1 |

| n1 |

=

|(- 3 ，0， 3 2 )•(- 3 ，3，2)|

(- 3 )2+32+22

=

3

2

∴点E到面O₁BC的距离等于

3

2

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，然后将空间直线与平面、平面与平面位置关系转化为向量之间的关系，是解答本题的关键．本题运算量较大，解题时要严谨，用向量解决立体几何问题是近几年高考的热点，本题中的类型近几年出现的频率较高