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    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b1
    =1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c，0）（c＞0），右准线为l：x=
    1
    2
    ，|AF|=3，过点F作直线交双曲线的右支于P、Q两点，延长PB交右准线l于M点．
    （Ⅰ）求双曲线的方程；
    （Ⅱ）若
    OP
    •
    OQ
    =-17，求△PBQ的面积S；
    （Ⅲ）若
    PF
    =λ
    FQ
    （λ≠0，λ≠-1），问是否存在实数μ=f（λ），使得
    AM
    =μ•
    MQ
    ，若存在，求出μ=f（λ）的表达式；若不存在，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）直接由题意列出关于a，b，c的方程组，求解后可得双曲线的方程；
    （Ⅱ）设出直线PQ的方程和P，Q的坐标，联立直线和双曲线方程后利用
    OP
    •
    OQ
    =-17结合根与系数关系求出直线的斜率，利用弦长公式求得弦长，代入三角形的面积公式求解；
    （Ⅲ）由点斜式写出PB的方程，取x=
    1
    2
    得到M的坐标，结合
    PF
    =λ
    FQ
    把点P和Q的坐标化为含有λ的表达式，利用响亮的坐标加减法得到
    AM
    和
    MQ
    ，通过一系列的整理变形得到两向量共线．
    解答：解：（Ⅰ）由题意知
    a+c=3
    a2
    c
    =
    1
    2
    b2=c2-a2
    ⇒
    a=1
    b=
    		3
    c=2
    ，
    则双曲线方程为x2-
    y2
    3
    =1    ；
    （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
    由题意知F（2，0），A（-1，0），B（1，0）．
    有准线l：x=
    1
    2

    设PQ方程为y=k（x-2），代入双曲线方程3x2-y2-3=0，
    可得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0．
    由于P、Q都在双曲线右支上，所以
    3-k2≠0
    △=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0
    x1+x2=
    4k2
    k2-3
    ＞0
    x1x2=
    4k2+3
    k2-3
    ＞0
    ⇒k2＞3
    ∴y1y2=k(x1-2)•k(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=
    -9k2
    k2-3

    由于
    OP
    =(x1，y1)，
    OQ
    =(x2，y2)
    由
    OP
    •
    OQ
    =x1x2+y1y2=-17    ⇒
    4k2+3
    k2-3
    -
    9k2
    k2-3
    =-17    ⇒k2=4
    此时，x1+x2=16，x1x2=19，y1y2=-36
    ∴y1+y2=k（x1-2）+k（x2-2）=k（x1+x2-4）=12k
    ∴SS△BPQ=
    1
    2
    |BF|×|y1-y2|=
    1
    2
    ×1×
    		(y1+y2)2-4y1y2

    =
    1
    2
    		(12k)2-4×(-36)
    =6
    		5

    （III）存在实数μ满足题设条件
    ∵PB的方程为y-0=
    y1
    x1-0
    (x-1)
    令x=
    1
    2
    ，得y=
    -y1
    2(x1-1)
    ，即M（
    1
    2
    ，
    -y1
    2(x1-1)
    ）
    ∵
    PF
    =λ
    FQ
    ，∴（2-x1，-y1）=λ（x2-2，y2）
    即
    2-x1=λ(x2-2)
    -y1=λy2
    ⇒
    x1=2(λ+1)-λx2①
    y12=λ2y22②

    又
    3x12-y12=3
    3x22-y22=3
    ⇒
    y12=3(x12-1)
    y22=3(x22-1)
    ③
    把③代入②得，x12=λ2x22+1-λ2④
    由①、④得：x1=
    3λ+5
    4
    =
    3
    4
    λ+
    5
    4
    ，x2=
    3
    4λ
    +
    5
    4

    又
    AM
    =(
    3
    2
    ，
    -y1
    2(x1-1)
    )
    ∴
    MQ
    =(x2-
    1
    2
    ，y2+
    y1
    2(x1-1)
    )
    =(
    3
    4λ
    +
    5
    4
    -
    1
    2
    ，-
    y1
    λ
    +
    y1
    2(x1-1)
    )
    =(
    3
    2
    •
    λ+1
    2λ
    ，-
    y1
    2(x1-1)
    •
    2(x1-1)-λ
    λ
    )
    =(
    3
    2
    •
    λ+1
    λ
    ，-
    y1
    2(x1-1)
    •
    2(
    4
    3
    λ+
    5
    4
    -1)-λ
    λ
    )
    =
    λ+1
    2λ
    (
    3
    2
    ，
    -y1
    2(x1-1)
    )
    =
    λ+1
    λ
    AM
    ．
    令μ=
    2λ
    λ+1
    ，∴
    AM
    =
    2λ
    λ+1
    MQ
    =μ
    MQ

    故存在实数μ，满足题设条件．
    点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了平行向量与共线向量，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量在解题中的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查了学生的计算能力，属于高考试卷中的压轴题．
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    ．

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    =1    的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
    		5
    ，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

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    =1(b＞a＞0)    ，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
    		5
    ，
    		3
    )    在双曲线上．
    （1）求双曲线的方程；
    （2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
    OP
    •
    OQ
    =0    ．问：
    1
    |OP|2
    +
    1
    |OQ|2
    是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．

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    （1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
    （-2，1）
    （-2，1）
    ；
    （2）已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1的一条渐近线方程为y=
    4
    3
    x，则双曲线的离心率为
    5
    3
    5
    3
    ．

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    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）满足| 
    a1
    b
    		2
     |=0    ，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
    		3
    x    的焦点重合，则该双曲线的方程为
     
    ．

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